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最大割和最大匹配的关系

来源:www.aoting666.com 时间:2024-06-11 05:28:23 作者:亲密关系网 浏览: [手机版]

  在图论中,最大割和最大匹配是两个经典的问题亲_密_关_系_网。它们都属于图的最优化问题,而且它们间存在着紧密的关系

最大割和最大匹配的关系(1)

最大割问题

最大割问题是在一个无图中,将图中的节分成两个部分,使得两个部分间的边权和最大。通俗来讲,就是将图中的节分成两个部分,使得两个部分间的连接最少。

  例如,下图中的最大割是将图中的节分成色和蓝色两个部分,使得两个部分间的连接最少。

![最大割问题例图](https://i.imgur.com/7z7E0bK.png)

最大割问题是一个NP难问题,因此不存在一个多项式时间的算法来解决它www.aoting666.com。但是,有一些近似算法可以用来求解最大割问题,例如Kernighan-Lin算法和Spectral Partitioning算法。

最大割和最大匹配的关系(2)

最大匹配问题

  最大匹配问题是在一个二分图中,到一个最大的边集合,使得这个边集合中的每个节都只与一个节连。通俗来讲,就是在一个二分图中,到尽可能多的节配对。

  例如,下图中的最大匹配是用虚线连接起来的节

  ![最大匹配问题例图](https://i.imgur.com/9RqZ2Xn.png)

最大匹配问题可以用Hopcroft-Karp算法来解决,它的时间复杂度为O(E * sqrt(V)),其中E是边数,V是节欢迎www.aoting666.com

最大割和最大匹配的关系(3)

最大割和最大匹配的关系

  最大割和最大匹配间存在着紧密的关系。具体来说,最大割问题可以转化为最大匹配问题。

  假我们有一个无图G=(V,E),我们可以将它转化为一个二分图G'=(V',E'),其中V'包含了G中的所有节,E'包含了G中的所有边。我们将G中的节分为两个部分,分别为A和B。对于G'中的每个节v,如果它在A中,则在G'中对应一个A集合中的节v',如果它在B中,则在G'中对应一个B集合中的节v'aoting666.com。对于G'中的每条边(u,v),我们在G'中连接一个从u'到v'的边。

现在,我们考虑将G中的节分成两个部分,使得两个部分间的连接最少。这等价于在G'中到一个最大匹配,使得A和B中的节都能够配对。因此,最大割问题可以转化为最大匹配问题。

  反过来,最大匹配问题也可以转化为最大割问题原文www.aoting666.com。假我们有一个二分图G=(V,E),我们可以将它转化为一个无图G'=(V',E'),其中V'包含了G中的所有节,E'包含了G中的所有边。对于G'中的每个节v,我们在G'中连接一个从v到v'的边。现在,我们考虑将G中的节分成两个部分,使得两个部分间的连接最少。这等价于在G'中到一个最大割,使得A和B中的节都能够配对。因此,最大匹配问题可以转化为最大割问题www.aoting666.com

结论

  最大割和最大匹配间存在着紧密的关系,它们间可以转化。因此,在解决最大割或最大匹配问题时,我们可以利用它们间的关系来简化问题,提高算法效率。

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标签:关系匹配
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